mandatoryの意味は、

「義務的な、強制的な、必須の」

です。

Attendance at the safety briefing is mandatory for all new employees.
全ての新入社員にとって、安全講習への出席は義務である。

compulsoryの意味は、

「義務的な、強制的な、必修の」

です。

English is a compulsory subject in many middle schools in Japan.
日本の多くの中学校において、英語は必修科目です。

mandatoryとcompulsoryの違いですが、

mandatoryは、特定の「ルールや枠組み」に焦点を当てます。ある目的を
達成するために「この条件を満たすことが不可欠である」という事務的、
または、論理的な義務付けのニュアンスで使われます。

一方、compulsoryは、逃れられない「強制力」に焦点を当てます。上の立場から
の命令や社会的な仕組みによって「選択の余地なく課せられている」という
より強制的で外圧的な響きを伴うことがあります。

mandatoryが「規則に基づく必須条件」に焦点を当てるのに対し
compulsoryは「制度による強制的な義務」を意味します。